\subsection{三角形的内角和}\label{subsec:czjh1-3-3}

在小学，我们曾经把一个三角形纸板的三个角拼在一起，发现它们组成一个平角（图 \ref{fig:czjh1-3-10}）。
这表明，三角形三个内角的和等于 $180^\circ$。就是

\begin{dingli}[三角形内角和定理]
    三角形三个内角的和等于 $180^\circ$。
\end{dingli}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/czjh1-ch3-10.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-10}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-11}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-11}
    \end{minipage}
\end{figure}

下面我们来证明这个定理。

已知：$\triangle ABC$（图 \ref{fig:czjh1-3-11}）。

求证：$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$。

分析：实验是把三个内角拼在一起组成一个平角，这启发我们，要证明这个命题，
可先以 $CA$ 为一边，在 $\triangle ABC$ 的外部作 $\angle ACE = \angle A$，
再延长 $BC$， 然后只要能证明 $\angle ECD = \angle B$ 就可以了。

\zhengming 作 $BC$ 的延长线 $CD$， 在 $\triangle ABC$ 的外部，
以 $CA$ 为一边， $CE$ 为另一边作 $\angle 1 = \angle A$ （图 \ref{fig:czjh1-3-11}）。 于是

\hspace*{2em} $CD \pingxing BA$（内错角相等，两直线平行）。

$\therefore$ \quad $\angle B = \angle 2$ （两直线平行，同位角相等）。

又 $\because$ $\angle 1 + \angle 2 + \angle ACB = 180^\circ$（平角的定义），

$\therefore$ \quad $\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^\circ$ （等量代换）。

为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做\zhongdian{辅助线}。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。

从上面的证明过程可以知道， $\angle ACD = \angle A + \angle B$， 由此得到：

\begin{tuilun}[推论1]
    三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
\end{tuilun}

\begin{tuilun}[推论2]
    三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
\end{tuilun}


\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-12}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-12}
\end{wrapfigure}

\liti[0] 已知：$\angle BAF$、$\angle CBD$、$\angle ACE$ 是 $\triangle ABC$ 的三个外角（图 \ref{fig:czjh1-3-12}）。

求证： $\angle BAF + \angle CBD + \angle ACE = 360^\circ$。

\zhengming 如图，$\because$ \quad $\angle BAF = \angle 2 + \angle 3$，
$\angle CBD = \angle 1 + \angle 3$， $\angle ACE = \angle 1 + \angle 2$
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

$\therefore$ \quad $\angle BAF + \angle CBD + \angle ACE = 2(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)$ （等式性质）。

$\because$ \quad $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ （三角形内角和定理），

$\therefore$ \quad $\angle BAF + \angle CBD + \angle ACE = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$ （等量代换）。

由内角和定理我们知道，三角形的每一个内角都不大于 $180^\circ$，
所以一个三角形的三个内角可能都是锐角，也可能有一个是直角或钝角，
因此，三角形可以按角进行分类。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-13-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-13-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-13-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-13}
\end{figure}


三个角都是锐角的三角形叫做\zhongdian{锐角三角形}（图 \ref{fig:czjh1-3-13} 甲）。
有一个角是直角的三角形叫做\zhongdian{直角三角形}（图 \ref{fig:czjh1-3-13} 乙）。
有一个角是钝角的三角形叫做\zhongdian{钝角三角形}（图 \ref{fig:czjh1-3-13} 丙）。
锐角三角形和钝角三角形合称\zhongdian{斜三角形}。

$$
    \text{三角形} \smash[t]{\left\{ \begin{aligned}
        &\text{直角三角形} \\[1.5em]
        & \text{斜三角形} \smash{\left\{ \begin{aligned}
            &\text{锐角三角形} \\
            &\text{钝角三角形}
        \end{aligned} \right.}
    \end{aligned} \right.}
$$ \vspace*{.5em}

在直角三角形中，夹直角的两边叫做\zhongdian{直角边}， 直角的对边叫做\zhongdian{斜边}。
两条直角边相等的直角三角形叫做\zhongdian{等腰直角三角形}。


\begin{lianxi}

\xiaoti{（口答） 一个三角形中，能否有两个内角是钝角或直角？为什么？}

\xiaoti{画一个 $\triangle ABC$， 再画出它的所有外角。 如果 $\angle BAC = 50^\circ$， $\angle ABC = 60^\circ$，
    那么 $\angle ACB$ 等于多少度？ 与 $\angle ACB$ 相邻的一个外角等于多少度？为什么？
}

\xiaoti{已知：如图，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点， 延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $D$。\\
    求证：（1）$\angle 1 > \angle 2$； （2）$\angle 2 > \angle A$；（3）$\angle 1 > \angle A$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec3-lx-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec3-lx-04}
        \caption*{（第 4 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{（口答〕如图， 已知 $\angle ACB = 90^\circ$， $CD \perp AB$， 垂足是 $D$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{图中有几个直角三角形？ 是哪几个？ 说出它们的直角边和斜边。}

    \xxt{$\angle 1 + \angle 2$ 等于多少度？ $\angle B + \angle 2$ 等于多少度？为什么？
        $\angle 1$ 和 $\angle B$ 是不是相等？为什么？
    }

\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}


